Uma solução definitiva para o problema do ponto mais visitado no plano e no espaço

Resumo

Neste artigo, iremos resolver o problema do ponto mais visitado nos retângulos e nos paralelepípedos, sendo que, nos quadrados, o problema já se encontra resolvido em Santos e Castilho (2013). O problema consiste no seguinte: delimitado um retângulo no primeiro quadrante do plano cartesiano e com vértice inferior esquerdo na origem (0,0), procuramos o ponto de coordenadas inteiras pelo qual passam mais caminhos, cujas trajetórias são determinadas por passos de tamanho inteiro que são dados para cima ou para a direita, partindo da origem do sistema cartesiano e chegando no vértice superior direito (M,N) do retângulo. As conclusões que chegamos foram que o ponto mais visitado no retângulo M por N, com M>N, é o ponto (1,0); nos paralelepípedos M por N por P, com M>N>=P, o ponto mais visitado é o ponto (1,0,0); nos paralelepípedos regulares M por M por M, será o ponto (1,1,1) para M=2, e para M>2 serão os pontos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Utilizamos, para os cálculos, as ferramentas básicas da Análise Combinatória e o Princípio de Indução.