Comportamento do número de condicionamento na Formulação Variacional Ultra Fraca, com funções de Bessel como base para a equação de Helmholtz não homogênea

Autores

  • Julius Monteiro de Barros Filho Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ), Nova Iguaçu, RJ; Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, RJ, Brasil https://orcid.org/0000-0003-2688-920X
  • Fernanda Lúcia Sá Ferreira Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ), Nova Iguaçu, RJ; Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, RJ, Brasil https://orcid.org/0000-0002-0921-2494
  • Amaury Alvarez Cruz Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Programa de Pós-Graduação em Informática (PPGI), Rio de Janeiro, RJ, Brasil https://orcid.org/0000-0002-5513-7974
  • Daniel Gregorio Alfaro Vigo Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Programa de Pós-Graduação em Informática (PPGI), Rio de Janeiro, RJ, Brasil https://orcid.org/0000-0002-3280-8720

DOI:

https://doi.org/10.35819/remat2024v10iespecialid7054

Palavras-chave:

formulação variacional ultra fraca, equação de Helmholtz, sistemas mal condicionados, ondas cilíndricas, funções de Bessel

Resumo

A Formulação Variacional Ultra Fraca (Ultra Weak Variational Formulation - UWVF) se apresenta como uma metodologia promissora para a simulação de vários fenômenos ondulatórios. No entanto, o sistema linear oriundo da discretização dessa formulação pode ser bastante mal condicionado, comprometendo assim as estratégias para a estimativa de erro da solução aproximada. Nesta pesquisa, é feita uma análise do condicionamento do sistema linear subjacente em relação à escolha de certas famílias de funções de base, incluindo as clássicas ondas planas, na UWVF aplicada a um problema de valor de contorno (PVC) para a equação de Helmholtz. Dentre as famílias implementadas, a formada por ondas cilíndricas baseadas em funções de Bessel, escaladas com um fator global também baseado em função de Bessel, se destacou por implicar em um número de condicionamento bastante menor do que os produzidos pelas demais famílias. Esse destaque foi observado em todos os experimentos numéricos realizados, tanto para o caso da equação Helmholtz homogênea quanto para o caso não homogêneo, variando-se tanto o número de funções da família em questão quanto o refinamento das malhas computacionais utilizadas.

Downloads

Não há dados estatísticos.

Biografia do Autor

Julius Monteiro de Barros Filho, Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ), Nova Iguaçu, RJ; Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Fernanda Lúcia Sá Ferreira, Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET/RJ), Nova Iguaçu, RJ; Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Amaury Alvarez Cruz, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Programa de Pós-Graduação em Informática (PPGI), Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Daniel Gregorio Alfaro Vigo, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Programa de Pós-Graduação em Informática (PPGI), Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Referências

ALVAREZ, A. C.; GARCÍA, G. C.; SARKIS, M. The ultra weak variational formulation for the modified mild-slope equation. Applied Mathematical Modelling. v. 52, p. 28-41, 2017. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.07.018.

AULD, B. A. Acoustic fields and waves in solids. New York: John Wiley and Sons, 1973. v. I, v. II.

BAYLISS, A.; GOLDSTEIN, C. I., TURKEL, E. The numerical solution of the Helmholtz Equation for wave propagation problems in underwater acoustics. Computers & Mathematics with Applications. v. 11, n. 7-8, p. 655-665, 1985. DOI: https://doi.org/10.1016/0898-1221(85)90162-2.

BORGES, C.; GILLMAN, A.; GREENGARD, L. High resolution inverse scattering in two dimensions using recursive linearization. SIAM Journal on Imaging Sciences. v. 10, n. 2, p. 641-664, 2017. DOI: https://doi.org/10.1137/16M1093562.

CESSENAT, O. Application d'une nouvelle formulation variationnelle aux équations d'ondes harmoniques: problèmes de Helmholtz 2D et de Maxwell 3D. Orientador: Patrick Joly. 1996. 250 f. Tese (Doutorado) - Université Paris Dauphine, Paris, 1996. Disponível em: https://www.sudoc.fr/043878121. Acesso em: 26 jun. 2024.

CESSENAT, O.; DESPRÉS, B. Application of an ultra weak variational formulation of elliptic pdes to the two-dimensional helmholtz problem. SIAM Journal on Numerical Analysis. v. 35, n. 1, p. 255-299, 1998. DOI: https://doi.org/10.1137/S0036142995285873.

CHENEY, W.; KINCAID, D. Numerical Mathematics and Computing. USA: Thomson Brooks/Cole, 2007.

FARHAT, C.; HARARI, I.; HETMANIUK, U. A discontinuous Galerkin method with Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems in the mid-frequency regime. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. v. 192, n. 11-12, p. 1389-1419, 2003. DOI: https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00646-1.

GITTELSON, C. J.; HIPTMAIR, R.; PERUGIA, I. Plane wave discontinuous Galerkin methods: Analysis of the h-version. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. v. 43, n. 2, p. 297-331, 2009. DOI: https://doi.org/10.1051/m2an/2009002.

GITTELSON, C. J.; HIPTMAIR, R.; PERUGIA, I. Plane Wave Discontinuous Galerkin Methods. Research Report No. 2008-04. May 2008. Seminar für Angewandte Mathematik. Eidgenössische Technische Hochschule, CH-8092 Zürich, Switzerland, 2008. Disponível em: https://www.sam.math.ethz.ch/sam_reports/reports_final/reports2008/2008-04_fp.pdf. Acesso em: 26 jun. 2024.

HIPTMAIR, R.; LEDGER, P. D. A quadrilateral edge element scheme with minimum dispersion. Research Report No. 2003-17. December 2003. Seminar für Angewandte Mathematik. Eidgenössische Technische Hochschule, CH-8092 Zürich, Switzerland, 2003. Disponível em: https://www.sam.math.ethz.ch/sam_reports/reports_final/reports2003/2003-17_fp.pdf. Acesso em: 26 jun. 2024.

HIPTMAIR, R.; MOIOLA, A.; PERUGIA, I. A Survey of Trefftz Methods for the Helmholtz Equation. In: BARRENECHEA, G.; BREZZI, F.; CANGIANI, A.; GEORGOULIS, E. (ed.). Building Bridges: Connections and Challenges in Modern Approaches to Numerical Partial Differential Equations. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer, 2016. v. 114. p. 237-279. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-41640-3_8.

HOWARTH, C. J.; CHILDS, P. N.; MOIOLA, A. Implementation of an interior point source in the ultra weak variational formulation through source extraction. Journal of Computational and Applied Mathematics. v. 271, p. 295-306, 2014. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.04.017.

JURAEV, D. A.; AGARWAL, P.; ELSAYED, E. E.; TARGYN, N. Helmholtz equations and their applications in solving physical problems. Advanced Engineering Science. Atlas Akademi, 2024. v. 4, p. 54-64, 2024. Disponível em: https://publish.mersin.edu.tr/index.php/ades/article/view/1500. Acesso em: 26 jun. 2024.

LAGHROUCHE, O.; BETTESS, P.; ASTLEY, R. J. Modelling of short wave diffraction problems using approximating systems of plane waves. International Journal for Numerical Methods in Engineering. v. 54, n. 10, p. 1501-1533, 2002. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.478.

LUOSTARI, T.; HUTTUNEN, T.; MONK, P. The ultra weak variational formulation using bessel basis functions. Communications in Computational Physics. v. 11, n. 2, p. 400-414, 2012. DOI: https://doi.org/10.4208/cicp.121209.040111s.

MATLAB. Version 9.8.0.1323502 (R2020a). The MathWorks Inc., 2020. Disponível em: https://www.mathworks.com. Acesso em: 26 jun. 2024.

MEDEIROS, L. A.; MIRANDA, M. M. Espaços de Sobolev: Iniciação aos Problemas Elíticos não Homogêneos. [S. l.]: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2010.

MULESHKOV, A. S; CHEN, C. S.; GOLBERG, M. A.; CHENG, A. H.-D. Analytic Particular Solutions for Inhomogeneous Helmholtz-Type Equations. In: ATLURI, S. N.; BRUST, F. W. (ed.). Advanced Computational Methods in Science and Engineering. Tech Science Press, 2000. p. 27-32.

NÉDÉLEC, J.-C. Acoustic and Electromagnetic Equations: Integral Representations for Harmonic Problems. Applied Mathematical Sciences. New York: Springer, 2001. v. 144.

TEZAUR, R.; FARHAT, C. Three-dimensional discontinuous Galerkin elements with plane waves and Lagrange multipliers for the solution of mid-frequency Helmholtz problems. International Journal for Numerical Metholds for Engineering. v. 66, n. 5, p. 796-815, 2006. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.1575.

WATSON, G. N. A Treatise on Theory of Bessel Functions. USA: Cambridge University Press, 1966.

Downloads

Publicado

2024-06-28

Como Citar

BARROS FILHO, J. M. de; FERREIRA, F. L. S.; CRUZ, A. A.; VIGO, D. G. A. Comportamento do número de condicionamento na Formulação Variacional Ultra Fraca, com funções de Bessel como base para a equação de Helmholtz não homogênea. REMAT: Revista Eletrônica da Matemática, Bento Gonçalves, RS, v. 10, n. especial, p. e4004, 2024. DOI: 10.35819/remat2024v10iespecialid7054. Disponível em: https://periodicos.ifrs.edu.br/index.php/REMAT/article/view/7054. Acesso em: 14 jul. 2024.

Edição

Seção

Dossiê: Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia