Construções hiperbólicas interativas: relações métricas e bilhares
DOI:
https://doi.org/10.35819/remat2022v8i2id5889Palavras-chave:
Construções Geométricas, Plano Hiperbólico, Plano Neutro, Relações Métricas, BilharesResumo
Este trabalho explora a geometria do plano hiperbólico e, mais geralmente, de planos neutros, por meio de construções com retas e circunferências executadas no disco de Poincaré através do software GeoGebra. Verificam-se no plano hiperbólico os Teoremas de Ceva e de Euler, além de relações métricas associadas a baricentros e ortocentros. A técnica usual de se dobrar e desdobrar trajetórias de bilhar, em regiões poligonais, é estabelecida no plano neutro, motivada pelo traçado de poligonais minimizantes como, por exemplo, no problema de Fagnano. Essa ferramenta viabiliza descrições de bilhares em faixas e parcialmente em triângulos acutângulos, mostrando como suas propriedades se relacionam com o plano ser euclidiano ou hiperbólico. É feita uma demonstração elementar de uma propriedade de unicidade da trajetória órtica em triângulos hiperbólicos acutângulos, e são apresentadas provas completas acerca de triângulos órticos em planos neutros.
Downloads
Referências
AKOPYAN, A. V. On some classical constructions extended to hyperbolic geometry. Matematicheskoe prosveshenie. Tret'ya seriya, v. 13, p. 155-170, 2009. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1105.2153.
BEARDON, A. F. The geometry of discrete groups. Graduate Texts in Mathematics, v. 91, New York: Springer-Verlag, 1983.
BOLDRIGHINI, C.; KEANE, M.; MARCHETTI, F. Billiards in polygons. The Annals of Probability, v. 6, n. 4, p. 532-540, 1978. Disponível em: https://www.jstor.org/stable/2243120. Acesso em: 21 dez. 2022.
BOTTEMA, O. On the medians of a triangle in hyperbolic geometry. Canadian Journal of Mathematics, v. 10, p. 502-506, 1958. DOI: https://doi.org/10.4153/CJM-1958-049-5.
COLOMBO, J.; DE SOUSA, D. D. Régua e Compasso na Geometria Hiperbólica. In: BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 9., 2019, Juazeiro do Norte. Anais [...]. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2019. Notas de Oficina. Disponível em: https://www.professores.uff.br/jcolombo/wp-content/uploads/sites/124/2019/07/of04__compasso_hiperbolico_IX_bienal_SBM_2019.pdf. Acesso em: 19 dez. 2022.
COXETER, H. S. M.; GREITZER, S. L. Geometry revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967.
GEOGEBRA. Materiais Didáticos. Hyperbolic Geometry in the Poincaré Disk. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/R5e9AggU. Acesso em: 30 mar. 2022.
GOODMAN-STRAUSS, C. Compass and Straightedge in the Poincaré Disk. The American Mathematical Monthly, Washington, D.C., v. 108, n. 1, p. 38-49, 2001. DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.2001.11919719.
GREENBERG, M. J. Euclidean and non-Euclidean geometries: Development and history. Berlin: Macmillan, 1993.
HARVEY, M. Geometry illuminated: an illustrated introduction to euclidean and hyperbolic plane geometry. MAA Press Textbooks. Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, 2015.
HORVÁTH, A. G. On the hyperbolic triangle centers. Studies of the University of Zilina. Mathematical Series. v. 2014, p. 1-25, 2014. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.1410.6735.
MARTIN, G. E. The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. New York: Springer-Verlag, 1975.
MASUR, H.; TABACHNIKOV, S. Rational billiards and flat structures. In: HASSELBLATT, B.; KATOK, A. Handbook of Dynamical Systems, v. 1A, Amsterdã: Elsevier Science, 2002. p. 1015-1089.
MILLMAN, R. S.; PARKER, G. D. Geometry: a metric approach with models. 2. ed. Berlin: Springer Science & Business Media, 1991.
NAGAR, A.; SINGH, P. Finiteness in polygonal billiards on hyperbolic plane. Topological Methods in Nonlinear Analysis. v. 58, n. 2, p. 481-520, 2021. DOI: https://doi.org/10.12775/TMNA.2021.003.
PAPADOPOULOS, A.; SU, W. On hyperbolic analogues of some classical theorems in spherical geometry. In: FUJIWARA, K.; OHSHIKA, K.; KOJIMA, S. (ed.). Hyperbolic geometry and geometric group theory, Advanced Studies of Pure Mathematics, n. 73. Tokyo: Mathematical Society of Japan, 2017. p. 225-253. Disponível em: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01630212. Acesso em: 16 dez. 2022.
PHILIPPAKIS, A. The Orthic Triangle and the O.K. Quadrilateral. The American mathematical monthly, Washington, D.C., v. 109, n. 8, p. 704-728, 2002. DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.2002.11919903.
RIBEIRO, R.; GRAVINA, M. Disco de Poincaré: uma proposta para explorar geometria hiperbólica no GeoGebra. Revista Professor de Matemática Online, Rio de Janeiro, v. 1, n. 1, p. 53-66, 2013. DOI: https://doi.org/10.21711/2319023x2013/pmo15.
STRZHELETSKA, E. The Euler Line in non-Euclidean geometry. 2003, 63 f. Dissertação (Master of Arts in Mathematics) - California State University, San Bernardino, 2003. Disponível em: https://scholarworks.lib.csusb.edu/etd-project/2443. Acesso em: 16 dez. 2022.
TABACHNIKOV, S. Geometry and billiards. v. 30, 1. ed. Providence: American Mathematical Society, 2005.
VENEMA, G. A. Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra. Washington, D.C.: American Mathematical Society, 2013.
WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 6. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2007.
YAGLOM, I. M. Geometric transformations I. Tradução: A. Shields. Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 1975. DOI: https://doi.org/10.5948/UPO9780883859254.001.
Downloads
Publicado
Edição
Seção
Licença
Copyright (c) 2022 REMAT: Revista Eletrônica da Matemática
Este trabalho está licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Declaração de acesso aberto: A REMAT é uma revista de acesso aberto, o que implica que todo o seu conteúdo está acessível sem custo para o usuário ou sua instituição. Os leitores têm permissão para visualizar, fazer download, copiar, distribuir, imprimir, pesquisar ou vincular aos textos completos dos artigos, bem como usá-los para qualquer outra finalidade legal, sem a necessidade de solicitar autorização prévia da revista ou dos autores. Essa declaração alinha-se com a definição de acesso aberto estabelecida pela Budapest Open Access Initiative (BOAI).