Integração em finitos termos: o princípio de Liouville e o método de Ostrowski

Allan Kenedy Santos Silva

doi:10.35819/remat2024v10i1id6556

Autores/as

Allan Kenedy Santos Silva Universidade Federal de Alagoas (Ufal), Maceió, AL, Brasil https://orcid.org/0000-0002-8889-3899

DOI:

https://doi.org/10.35819/remat2024v10i1id6556

Palabras clave:

integración elemental, integración en términos finitos, principio de Liouville, teorema de Liouville, el teorema de Ostrowski

Resumen

Desde los inicios del Cálculo Diferencial e Integral, muchos matemáticos han dedicado años de su vida al desarrollo de esta disciplina. Mejoraron varias técnicas para calcular integrales de varias clases de funciones, pero había algunas que no podían calcular en términos de funciones elementales (funciones expresadas por un número finito de polinomios, radicales, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, usando un número finito de operaciones algebraicas y composiciones de funciones). Surgió la pregunta: ¿estas integrales eran en realidad elementales? Esto llevó al matemático francés Joseph Liouville a desarrollar una teoría de la integración en términos finitos. En este artículo, se expondrá el brillante razonamiento de Liouville y una generalización debida al matemático ucraniano Alexander Ostrowski. También veremos aplicaciones de sus resultados en el cálculo de algunas integrales.

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Biografía del autor/a

Allan Kenedy Santos Silva, Universidade Federal de Alagoas (Ufal), Maceió, AL, Brasil

http://lattes.cnpq.br/5548949525339076

Referencias

ABEL, N. H. Précis d'une theorie des fonctions elliptiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 4, p. 236-277, 1829. Disponível em: http://eudml.org/doc/183143. Acesso em: 11 mar. 2024.

CHERRY, G. W. Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function. Journal of Symbolic Computation, v. 1, n. 3, p. 283-302, set. 1985.

CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 1975.

FIGUEIREDO, D. G. de. Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: SBM, 1985.

GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Impa, 1979.

HARDY, G. H. The Integration of Functions of a Single Variable. 2. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1916. Disponível em: https://archive.org/details/cu31924001539570. Acesso em: 11 mar. 2024.

HEFEZ, A. Curso de álgebra. v. 2, versão preliminar, 2002. Disponível em: https://docplayer.com.br/175412716-Curso-de-algebra-volume-ii-versao-preliminar-abramo-hefez.html. Acesso em: 22 jan. 2023.

KAUR, Y.; SRINIVASAN, V. R. Integration in Finite Terms: Dilogarithmic Integrals. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, v. 34, p. 539-551, jun. 2021. DOI: https://doi.org/10.1007/s00200-021-00518-3.

LIOUVILLE, J. Mémoire sur l’intégration d’une casse des fonctions transcendentes. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 13, p. 93-118, 1835. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1835.13.93.

MAMEDE, R. Funções sem primitiva elementar. 2013. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/364150706/Funcao-sem-primitiva-pdf#. Acesso em: 19 jan. 2023.

MORAES FILHO, D. C. de. “Professor, qual é a primitiva de ?” (O problema de integração em termos finitos). Revista Matemática Universitária, n. 31, p. 143-161, dez. 2001. Disponível em: https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n31_Artigo05.pdf. Acesso em: 11 mar. 2024.

OSTROWSKI, M. A. Sur l'intégrabilité élémentaire de quelques classes d'expressions. Commentarii Mathematici Helvetici, v. 18, p. 283-308, 1945. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568114.

RISCH, R. H. The problem of integration in finte therms. Transactions of the American Mathematical Society, v. 139, p. 167-189, maio 1969. DOI: https://doi.org/10.2307/1995313.

RITT, J. F. Integration in finite therms: Liouville’s theory of elementary methods. New York: Columbia University Press, 1948.

ROSENLICHT, M. A. Liouville’s theorem on functions with elementary integrals. Pacific Journal of Mathematics, v. 24, n. 1, p. 153-161, 1968. DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1968.24.153.