Integración en términos finitos: principio de Liouville y método de Ostrowski
DOI:
https://doi.org/10.35819/remat2024v10i1id6556Palabras clave:
integración elemental, integración en términos finitos, principio de Liouville, teorema de Liouville, el teorema de OstrowskiResumen
Desde los inicios del Cálculo Diferencial e Integral, muchos matemáticos han dedicado años de su vida al desarrollo de esta disciplina. Mejoraron varias técnicas para calcular integrales de varias clases de funciones, pero había algunas que no podían calcular en términos de funciones elementales (funciones expresadas por un número finito de polinomios, radicales, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas, usando un número finito de operaciones algebraicas y composiciones de funciones). Surgió la pregunta: ¿estas integrales eran en realidad elementales? Esto llevó al matemático francés Joseph Liouville a desarrollar una teoría de la integración en términos finitos. En este artículo, se expondrá el brillante razonamiento de Liouville y una generalización debida al matemático ucraniano Alexander Ostrowski. También veremos aplicaciones de sus resultados en el cálculo de algunas integrales.
Descargas
Referencias
ABEL, N. H. Précis d'une theorie des fonctions elliptiques. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 4, p. 236-277, 1829. Disponível em: http://eudml.org/doc/183143. Acesso em: 11 mar. 2024.
CHERRY, G. W. Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function. Journal of Symbolic Computation, v. 1, n. 3, p. 283-302, set. 1985.
CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 1975.
FIGUEIREDO, D. G. de. Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: SBM, 1985.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Impa, 1979.
HARDY, G. H. The Integration of Functions of a Single Variable. 2. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1916. Disponível em: https://archive.org/details/cu31924001539570. Acesso em: 11 mar. 2024.
HEFEZ, A. Curso de álgebra. v. 2, versão preliminar, 2002. Disponível em: https://docplayer.com.br/175412716-Curso-de-algebra-volume-ii-versao-preliminar-abramo-hefez.html. Acesso em: 22 jan. 2023.
KAUR, Y.; SRINIVASAN, V. R. Integration in Finite Terms: Dilogarithmic Integrals. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, v. 34, p. 539-551, jun. 2021. DOI: https://doi.org/10.1007/s00200-021-00518-3.
LIOUVILLE, J. Mémoire sur l’intégration d’une casse des fonctions transcendentes. Journal für die reine und angewandte Mathematik, v. 13, p. 93-118, 1835. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1835.13.93.
MAMEDE, R. Funções sem primitiva elementar. 2013. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/364150706/Funcao-sem-primitiva-pdf#. Acesso em: 19 jan. 2023.
MORAES FILHO, D. C. de. “Professor, qual é a primitiva de ?” (O problema de integração em termos finitos). Revista Matemática Universitária, n. 31, p. 143-161, dez. 2001. Disponível em: https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n31_Artigo05.pdf. Acesso em: 11 mar. 2024.
OSTROWSKI, M. A. Sur l'intégrabilité élémentaire de quelques classes d'expressions. Commentarii Mathematici Helvetici, v. 18, p. 283-308, 1945. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568114.
RISCH, R. H. The problem of integration in finte therms. Transactions of the American Mathematical Society, v. 139, p. 167-189, maio 1969. DOI: https://doi.org/10.2307/1995313.
RITT, J. F. Integration in finite therms: Liouville’s theory of elementary methods. New York: Columbia University Press, 1948.
ROSENLICHT, M. A. Liouville’s theorem on functions with elementary integrals. Pacific Journal of Mathematics, v. 24, n. 1, p. 153-161, 1968. DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1968.24.153.
Descargas
Publicado
Número
Sección
Licencia
Derechos de autor 2024 REMAT: Revista Eletrônica da Matemática
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución 4.0.
Os autores detêm os direitos autorais dos artigos publicados e concedem à REMAT o direito de primeira publicação e distribuição de partes ou do trabalho como um todo com o objetivo de promover a revista. Os autores são autorizados a distribuir a versão publicada do artigo, como por exemplo em repositórios institucionais, desde que façam menção de publicação inicial nesta revista a partir da disponibilização do DOI do artigo.
Os artigos são publicados sob a licença Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). Isso permite que o conteúdo seja utilizado para criação de novos trabalhos, tanto para fins comerciais quanto não comerciais, desde que seja feita a devida atribuição ao autor original, conforme especificado na licença.
Última atualização: 07/02/2025, 19:22.
Cómo citar
