Hipérbola, inversión geométrica y problema de construcción de triángulos

Resumen

La inversión geométrica es una transformación importante que permite convertir problemas aparentemente complicados en problemas análogos, pero con soluciones más simples. En el artículo presentamos la definición de inversión geométrica, la caracterización de lo que sucede con las rectas y circunferencias cuando se someten a una inversión y la propiedad de preservación de los ángulos en  esta transformación. El objetivo del trabajo es aplicar la inversión geométrica en la resolución del problema de construir, con regla y compás,  los puntos de intersección de una recta con una hipérbola, así como en la resolución del siguiente Problema de Regiomontanus: determinar un triángulo dada la diferencia entre dos lados, la altura relativa al tercer lado y la diferencia entre los segmentos en los que la altura divide dicho lado. La solución original de este problema se realiza sólo para un caso particular particular, de forma algebraica, mediante la determinación de la raíz de una ecuación cuadrática. Esta solución difiere sustancialmente de la solución geométrica presentada en este artículo, la cual contempla el caso general, se aproxima al problema utilizando un lenguaje moderno y hace uso de una hipérbola y de la inversión geométrica en su solución.