Comportamiento del número de condicionamiento en la Formulación Variacional Ultra Débil, con funciones de Bessel como base para la ecuación de Helmholtz no homogénea
DOI:
https://doi.org/10.35819/remat2024v10iespecialid7054Palabras clave:
formulación variacional ultra débil, ecuación de Helmholtz, sistemas mal condicionados, ondas cilíndricas, funciones de BesselResumen
La Formulación Variacional Ultra Débil (Ultra Weak Variational Formulation - UWVF) se presenta como una metodología prometedora para la simulación de varios fenómenos ondulatorios. Sin embargo, el sistema lineal resultante de la discretización de esta formulación puede ser bastante mal condicionado, comprometiendo así las estrategias para la estimación del error de la solución aproximada. En esta investigación, se realiza un análisis del condicionamiento del sistema lineal subyacente en relación con la elección de ciertas familias de funciones de base, incluyendo las clásicas ondas planas, en la UWVF aplicada a un problema de valor de contorno (PVC) para la ecuación de Helmholtz. Entre las familias implementadas, la formada por ondas cilíndricas basadas en funciones de Bessel, escaladas con un factor global también basado en funciones de Bessel, se destacó por implicar en un número de condicionamiento significativamente menor que los producidos por las demás familias. Este destacado se observó en todos los experimentos numéricos realizados, tanto para el caso de la ecuación de Helmholtz homogénea como para el caso no homogéneo, variando tanto el número de funciones en la familia en cuestión como el refinamiento de las mallas computacionales utilizadas.
Descargas
Citas
ALVAREZ, A. C.; GARCÍA, G. C.; SARKIS, M. The ultra weak variational formulation for the modified mild-slope equation. Applied Mathematical Modelling. v. 52, p. 28-41, 2017. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2017.07.018.
AULD, B. A. Acoustic fields and waves in solids. New York: John Wiley and Sons, 1973. v. I, v. II.
BAYLISS, A.; GOLDSTEIN, C. I., TURKEL, E. The numerical solution of the Helmholtz Equation for wave propagation problems in underwater acoustics. Computers & Mathematics with Applications. v. 11, n. 7-8, p. 655-665, 1985. DOI: https://doi.org/10.1016/0898-1221(85)90162-2.
BORGES, C.; GILLMAN, A.; GREENGARD, L. High resolution inverse scattering in two dimensions using recursive linearization. SIAM Journal on Imaging Sciences. v. 10, n. 2, p. 641-664, 2017. DOI: https://doi.org/10.1137/16M1093562.
CESSENAT, O. Application d'une nouvelle formulation variationnelle aux équations d'ondes harmoniques: problèmes de Helmholtz 2D et de Maxwell 3D. Orientador: Patrick Joly. 1996. 250 f. Tese (Doutorado) - Université Paris Dauphine, Paris, 1996. Disponível em: https://www.sudoc.fr/043878121. Acesso em: 26 jun. 2024.
CESSENAT, O.; DESPRÉS, B. Application of an ultra weak variational formulation of elliptic pdes to the two-dimensional helmholtz problem. SIAM Journal on Numerical Analysis. v. 35, n. 1, p. 255-299, 1998. DOI: https://doi.org/10.1137/S0036142995285873.
CHENEY, W.; KINCAID, D. Numerical Mathematics and Computing. USA: Thomson Brooks/Cole, 2007.
FARHAT, C.; HARARI, I.; HETMANIUK, U. A discontinuous Galerkin method with Lagrange multipliers for the solution of Helmholtz problems in the mid-frequency regime. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. v. 192, n. 11-12, p. 1389-1419, 2003. DOI: https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00646-1.
GITTELSON, C. J.; HIPTMAIR, R.; PERUGIA, I. Plane wave discontinuous Galerkin methods: Analysis of the h-version. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. v. 43, n. 2, p. 297-331, 2009. DOI: https://doi.org/10.1051/m2an/2009002.
GITTELSON, C. J.; HIPTMAIR, R.; PERUGIA, I. Plane Wave Discontinuous Galerkin Methods. Research Report No. 2008-04. May 2008. Seminar für Angewandte Mathematik. Eidgenössische Technische Hochschule, CH-8092 Zürich, Switzerland, 2008. Disponível em: https://www.sam.math.ethz.ch/sam_reports/reports_final/reports2008/2008-04_fp.pdf. Acesso em: 26 jun. 2024.
HIPTMAIR, R.; LEDGER, P. D. A quadrilateral edge element scheme with minimum dispersion. Research Report No. 2003-17. December 2003. Seminar für Angewandte Mathematik. Eidgenössische Technische Hochschule, CH-8092 Zürich, Switzerland, 2003. Disponível em: https://www.sam.math.ethz.ch/sam_reports/reports_final/reports2003/2003-17_fp.pdf. Acesso em: 26 jun. 2024.
HIPTMAIR, R.; MOIOLA, A.; PERUGIA, I. A Survey of Trefftz Methods for the Helmholtz Equation. In: BARRENECHEA, G.; BREZZI, F.; CANGIANI, A.; GEORGOULIS, E. (ed.). Building Bridges: Connections and Challenges in Modern Approaches to Numerical Partial Differential Equations. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer, 2016. v. 114. p. 237-279. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-41640-3_8.
HOWARTH, C. J.; CHILDS, P. N.; MOIOLA, A. Implementation of an interior point source in the ultra weak variational formulation through source extraction. Journal of Computational and Applied Mathematics. v. 271, p. 295-306, 2014. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.04.017.
JURAEV, D. A.; AGARWAL, P.; ELSAYED, E. E.; TARGYN, N. Helmholtz equations and their applications in solving physical problems. Advanced Engineering Science. Atlas Akademi, 2024. v. 4, p. 54-64, 2024. Disponível em: https://publish.mersin.edu.tr/index.php/ades/article/view/1500. Acesso em: 26 jun. 2024.
LAGHROUCHE, O.; BETTESS, P.; ASTLEY, R. J. Modelling of short wave diffraction problems using approximating systems of plane waves. International Journal for Numerical Methods in Engineering. v. 54, n. 10, p. 1501-1533, 2002. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.478.
LUOSTARI, T.; HUTTUNEN, T.; MONK, P. The ultra weak variational formulation using bessel basis functions. Communications in Computational Physics. v. 11, n. 2, p. 400-414, 2012. DOI: https://doi.org/10.4208/cicp.121209.040111s.
MATLAB. Version 9.8.0.1323502 (R2020a). The MathWorks Inc., 2020. Disponível em: https://www.mathworks.com. Acesso em: 26 jun. 2024.
MEDEIROS, L. A.; MIRANDA, M. M. Espaços de Sobolev: Iniciação aos Problemas Elíticos não Homogêneos. [S. l.]: Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2010.
MULESHKOV, A. S; CHEN, C. S.; GOLBERG, M. A.; CHENG, A. H.-D. Analytic Particular Solutions for Inhomogeneous Helmholtz-Type Equations. In: ATLURI, S. N.; BRUST, F. W. (ed.). Advanced Computational Methods in Science and Engineering. Tech Science Press, 2000. p. 27-32.
NÉDÉLEC, J.-C. Acoustic and Electromagnetic Equations: Integral Representations for Harmonic Problems. Applied Mathematical Sciences. New York: Springer, 2001. v. 144.
TEZAUR, R.; FARHAT, C. Three-dimensional discontinuous Galerkin elements with plane waves and Lagrange multipliers for the solution of mid-frequency Helmholtz problems. International Journal for Numerical Metholds for Engineering. v. 66, n. 5, p. 796-815, 2006. DOI: https://doi.org/10.1002/nme.1575.
WATSON, G. N. A Treatise on Theory of Bessel Functions. USA: Cambridge University Press, 1966.
Descargas
Publicado
Cómo citar
Número
Sección
Licencia
Derechos de autor 2024 REMAT: Revista Eletrônica da Matemática
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución 4.0.
REMAT conserva los derechos de autor de los artículos publicados, teniendo derecho a la primera publicación del trabajo, mención de la primera publicación en la revista en otros medios publicados y distribución de partes o del trabajo en su conjunto con el fin de promover la revista.
Esta es una revista de acceso abierto, lo que significa que todo el contenido está disponible de forma gratuita, sin costo para el usuario o su institución. Los usuarios pueden leer, descargar, copiar, distribuir, imprimir, buscar o vincular los textos completos de los artículos, o utilizarlos para cualquier otro propósito legal, sin solicitar permiso previo a la revista o al autor. Esta declaración está de acuerdo con la definición de BOAI de acceso abierto.
