Análisis de un método de coloración en el estudio del número de Ramsey R (3,10)

Resumen

Sean s, t números naturales; el número de Ramsey R(s,t) es el entero positivo más pequeño r tal que para cada bicolor de K_r, digamos azul y rojo, hay un subgrafo K_s color azul monocromático o un subgrafo monocromático rojo K_t. Esta teoría dio lugar a vastas investigaciones que utilizaron, entre otros temas, el estudio de la combinatoria, iniciado con Ramsey (1928). Tan simple como es la definición, calcular los números de Ramsey es muy difícil y se conocen pocos. Exoo (1989), y Goedgebeur y Radziszowski (2013) mostraron que 40 <= R (3,10) <= 42. Así, en este artículo se mostrarán estudios y conclusiones sobre un bicolor por R(3,10). Todavía no podemos decir que los resultados presentados en este trabajo se utilizarán en el cálculo final del número de Ramsey R(3,10). La idea aquí es compartir lo que hemos estudiado en nuestro grupo de investigación, para que estos estudios puedan usarse en el cálculo de R(3,10) o para mostrar a colegas que también estudian números de Ramsey, lo cual ya hicimos, así evitando un trabajo. Greenwood y Gleason (1955) utilizaron las nociones de residuos cúbicos y cuadráticos, respectivamente, para mostrar que R (3,5)=14 y R(4,4)=17. En base a estas ideas, dado un gráfico completo con 41 vértices, en forma isomorfa, identificaremos estos vértices con los elementos {0, ..., 40} de un campo con 41 elementos. Y, con un bicolor usando residuos de grado n módulo m (m, n naturales), demostremos que este gráfico contiene una copia azul [...].